Hardy-Weinberg Equilibrium 哈定-溫伯格平衡

族群中的基因頻率與基因型頻率

哈溫平衡

• Hardy-Weinberg Equilibrium 是將 Mondel 遺傳放到一個廣大的人口群考量看人口中的對偶基因頻率Allele frequency ：
• 1. 如何估計。
  2. 何時達到平衡（世代繁衍中保持不變）
  3. 會受到哪些因素影響，而無法保持平衡
• 可透過基因定型調查個體的基因型 genotype
• • 基因型 Genotype: 一生物個體內的DNA所包含的所有基因座(e.g. A, B,…etc) genetic locus 的allele組合。
  • • Genotic locus A 會有 allele A,a
• 基因型頻率可估對偶基因頻率Allele frequency)(aka 基因頻率 Gene frequency)
• • 基因頻率 Gene frequency: 特定 genetic locus 之 allele 在人群中的出現頻率。

For example, 對一個只有兩種allele A,a的genetical locus 進行 100人的定型：

		AA	Aa	aa	Total
人數		30	60	10	100
基因數	A	30*2=60	60*1=60	10*0=0	120
	a	30*0=0	60*1=60	10*2=20	80

• Gene frequency of A is f(A)=120/200=0.6
• … f(a)=80/200=0.4

Mondel 存疑派的問題：

1. 這樣的頻率是否會隨世代繁衍而改變？
2. 短指基因為顯性基因，若以上述所說，則幾代之後應該會變成三人短指對一人正常？

Hardy-Weinberg Equilibrium

假設只有兩種對偶基因A,a. f(A)=p, f(a)=q, p+q=1

Genotype與及frequency 如下：

	A	a
A	AA(p2)	Aa(pq)
a	aA(pq)	aa(q2)

Genotype的分布如下：

AA	Aa	aa
p2	2pq	q2

而新一代的Gene frequency：

f(A)=p2+1/2(2pq)=p(p+q)=p(?)

f(a)=q2+1/2(2pq)=q(p+q)=q(?)

Conclusion

在下列情況下基因頻率在世代繁衍中會保持不變：

1. 交配隨機(無近親交配/族群不會太小，否則易出現極端值e.g.亞當夏娃近視)
2. 無明顯對抗因素(生育率存活率/移民/突變)

Hardy-Weinberg Equilibrium 有什麼用途？

• 對於一個只有兩種allele (A,a)的 genetic locus而言，gene frequency 雖然以三種 genotype，但在總人數固定的條件下，其實只有兩個自由參數(p,q)，甚至只要有p,q任一一個參數(q=1-p)就能估出三種genotype的gene frequency
• 可估隱性疾病之致病gene frequency。很多先天性代謝疾病在兩個allele都是突變型(e.g. aa)才會發病。For example, 假設苯酮尿症(phenylketonuria, PKU)從55715中發現5病患，其疾病基因的頻率q=(5/55715)0.5=9.5*10-3，算罕見，但事實上異型合子(外表正常，但帶有疾病基因者)Hc=2pq/(2pq+p2)=2q/1+p大約50人就有1人帶有疾病基因。

如何檢驗哈溫平衡

基因定型後，如何判定基因型分佈是否偏離哈溫平衡的預測？

• 用卡方檢定。但若是樣本數小，違反使用卡方檢定(x2 test)之假設時，可採葉氏連續性校正，將分子扣除0.5後再平方；或是使用費雪精確檢定。
• x2 = Σ3i=1 (Oi - Ei)2/6129*2, df=資料點參數-期望值參數
• • Oi - 基因型的觀察人數
  • Ei - 期望人數
  • • 期望人數＝i之期望值*總觀察人數
  • df - 自由度

Example: 一項針對 6129 位受試者進行MN血型的分析，請問觀察值與預測值之間是否有顯著差異？

	MM	MN	NN	總共
觀察人數	1787	3037	1305	6129

1. df = 3 - 2 = 1
2. • 資料點參數 - 兩個自由變動的類別 M,N + 總數n
   • 期望值參數 - 一個參數（因為只要一個allele frequncy p就可知其他三種）+ 總數n
3. f(M) = p = (1787+3037)/6129 = 0.539
4. f(N) = q = 1-0.539=0.461
5. Exp[f(MM)]=p2=0.291
6. Exp[f(MN)]=2pq=0.496
7. Exp[f(NN)]=q2=0.212
8. 乘上總觀察人數可得基因型之期望分佈

	M/M	M/N	N/N
期望人數	1782.7	3045.6	1300.7

8. x2=0.0489
9. 查表發現該統計值對應p=0.9，小於1(0代表無偏差，卡方值愈大代表愈偏差)，得結論為沒有偏離哈溫平衡。

基因頻率的估算及其變異量

考慮雙對偶基因 bi-allele所構成之genotype進行基因頻率估計時，若allele 數目增加時，如何進行allele frequency的點估計，以及若將變異量考慮進去的話變異量要如何計算。

• 兩種點估計法：伯恩斯坦法以及EM演算法

伯恩斯坦法

對於沒有唯一對應的基因型，在求某一點時把所有不含該點的外表型當作一種genotype，透過扣除法來估算。

Example: 人類ABO血型有三種allele(IB, IB, i)，但在實際測量時只能測得四種外表形(?)（A[IAIA, IAi], B[IBIB, IBi], AB[IAIB], O[ii]）。現在對2060位成人進行血型判定，結果如下：

A	B	AB	O
862	365	131	702

令三種allele frequency分別為：f(IA)=p, f(IB)=q, f(i)=r

由於O型的人對應的genotype只有ii，因此r大約=f(O)0.5，但是p, q沒有唯一對應的genotype，因此用伯恩斯坦法來估計：

p大約=1-(q2+2qr+r2)0.5 = 1-(f(B+O))0.5

q大約=1-(p2+2pr+p2)0.5 = 1-(f(A+O))0.5

也就是在求IA頻率時，把所有不含IA的外表型想成是一種non-IA之allele所組成的genotype，因此f(non-IA)=(f(non-IA)2)0.5 => f(IA) = 1-f(non-IA)

最後可得p=0.2803, q=0.1287, r=0.5838

EM 演算法

透過期望式expectation與極大化maximization兩步驟疊代，幾回合之後估計值會小於某個預定門檻，也就是收斂converge(?)。

Example: 續上題

Step1 - E step

令C(A), C(B), C(O),C(AB)分別代表各血型的人數。在哈溫平衡條件下，各種genotype的Exp為：

(IAIA): x1 = C(A)[p2/(p2+2pr)]

(IAi): x2 = C(A)[2pr/(p2+2pr)]

(IBIB): x3 = C(B)[q2/(q2+2qr)]

(IBi): x4 = C(B)[2qr/(q2+2qr)]

(ii): x5 = C(O)

(IAIB): x6 = C(AB)

將從伯恩斯坦法算出的pqr代入上面的exp可得：

x1=166.8865, x2=695.1135, x3=36.2316

x4=328.7684, x5=702, x6=131

Step2 - M step

假設上面估出來的genotype數目為真正的數目，則allele frequency最大概似法估計值 maximum likelihood estimates可寫為：

p^ = (2x1+x2+x6)/2(Σxi)

q^ = (2x3+x4+x6)/2(Σxi)

r^ = (2x5+x2+x4)/2(Σxi)

做完step12算是完成一回的recusive，接著可以用新的pqr再回去step1算新的x1~x6~，直至pqr估計值之和為1。

基因頻率的變異量

略

影響哈溫平衡的因素

適合度（天擇）

有些疾病本身會導致適合度fitness降低，導致generation間的gene frequency不再維持不變。

Example: 以單一隱性基因所引起的白化症albinism為例，假設人口中盛行率為1/20000，並且fitness=0（完全不會產生下一代，不管是生物性或人為的理由），要過多久其盛行率才會降低成一半，也就是1/40000？

下圖為三種genotype的不同fitness：

	AA	Aa	aa	Total
起始世代	p2	2pq	q2	1
Fitness	1	1	0
配子貢獻	p2	2pq	0	p2+2pq

假設第零代時，allele frequency標記為q0，我們可推算出每一代人口中allele frequency of a:

q0 = q

q1 = pq/(p2+2pq)=q/(p+2q)=q0/(1+q0)(?)

q2 = q1/(1+q1)=(q0/1+q0)/[1+(q0/1+q0)]

…

qt = q0/(1+tq0)

如果要將gene frequency從q0降到qt，所需要的代數為：

t = (q0-qt)/q0qt = (1/qt)-(1/q0)

近親繁殖 Inbreeding（非隨機交配）

若有 inbreeding，由於雙親間具有血緣關係，違反隨機交配的條件導致哈溫不平衡。

Example: 植物自交self-fertilization在起始世代時：

p(AA)=1/4, p(Aa)=1/2, p(aa)=1/4，經過一代self-fertilication後：

p(AA)=(1/4)*1+(1/2)*1/4=3/8

p(Aa)=(1/2)*1/2=2/8

p(aa)=(1/4)*1+(1/2)*1/4=3/8

中間減少，兩旁增加，已偏離哈溫平衡。若再self-fertilization一次

p(AA)=(3/8)*1+(2/8)*1/4=7/16

p(Aa)=(2/8)*1/2=2/16

p(aa)=(3/8)*1+(2/8)*1/4=7/16

然侯檢查每一代的allele frequency

G1: p(A)=1/4+1/21/2=1/2

G2: p(A)=3/8+2/81/2=1/2

G3: p(A)=7/16+2/16*1/2=1/2

會發現allele frequency沒有變動。由此可推論，inbreeding對genotype的影響包含：

1. increase 同型合子homozygous(AA,aa)的frequency
2. decrease 異型合子heterozygous(Aa)的frequency
3. 對所有基因都有影響，而不像選形配種assortative mating，只會影響該「形」之基因。(?)

近親繁殖係數inbreeding coefficient用來量化inbreeding對gene frequency的效應。

Example: 人口中heterzygous的頻率為H，在哈溫平衡下的heterzygous的frequency為H0，coefficient F為：(?)

F = H0-H/H0，移項後可將H用F的函數來表示：

H = H0-H0F = H0(1-F) = 2pq(1-F)

也就是說，相對於隨機交配而言，heterzygous頻率所減少的幅度就是F。透過F和基偶基因頻率，便可算出三種genotype的頻率：

p(AA) = p2(1-F)+pF = p2+pqF

p(Aa) = 2pq(1-F) = 2pq-2pqF

p(aa) = q2(1-F)+qF = q2+pqF